구간 합

구간 합

구간 합은 합 배열을 이용하여 시간 복잡도를 더 줄이기 위해 사용하는 특수한 목적의 알고리즘이다.

코딩 테스트에서 사용 빈도가 높아서 꼭 알아둬야 한다.

구간 합의 핵심 이론

구간 합 알고리즘을 활용하려면 먼저 합 배열을 구해야 한다. 배열 A가 있을 때 합 배열 S는 다음과 같이 정의 한다.

합 배열 S 정의

S[i] = A[0] + A[1] + A[2] + … + A[i*1] + A[i] // A[0] 부터 A[i] 까지의 합

합 배열은 기존의 배열을 전처리한 배열이라 생각하면 된다. 이렇게 합 배열을 미리 구해 놓으면 (for문 돌려서 미리 구해놓는다는 뜻임) 기존 배열의 일정 범위의 합(구간 합)을 구하는 시간 복잡도가 O(N)에서 O(1)로 감소한다.

A[i]부터 A[j] 까지의 배열 합을 합 배열 없이 구하는 경우, 최악의 경우 i가 0이고 j가 N인 경우로 시간 복잡도는 O(N)이다. 이런 경우 앞에서 알아본 합 배열을 사용하면 O(1) 안에 답을 구할 수 있다. 합 배열은 다음과 같은 간단한 공식으로 만들 수 있다.

합 배열 S를 만드는 공식

S[i] = S[i-1] + A[i]

이렇게 구현된 합 배열을 이용하여 구간 합 역시 쉽게 구할 수 있다. i에서 j까지 구간 합을 구하는 공식은 다음과 같다.

구간 합을 구하는 공식

S[J] - S[i-1] // i에서 j까지 구간 합